1. В замесочное блюдо влить теплую воду. Вбить 1 яйцо, добавить соль и сахар, всыпать просеянную муку, затем - дрожжи. Тщательно перемешать. Вымесить гладкое упругое тесто. Накрыть и оставить в теплом месте на 1 ч. Объем теста за это время должен увеличиться вдвое. Тесто обмять и оставить ещё на 30 мин.
2. Приготовить начинку. Сыр натереть на крупной терке, добавить 2 яйца. Если сулугуни не очень соленый, добавить немного соли. Тщательно перемешать.
3. Тесто еще раз обмять и разделить на 5 равных частей. Каждую раскатать скалкой, придав пластам форму большого овала
4. На каждый овал выложить равное количество начинки, оставляя незанятыми края шириной 3–4 см. Разровнять поверхность.
5. Завернуть края теста вверх так, чтобы получились "лодочки". Смазать хачапури яйцом.
6. Разогреть духовку до 200°С. Поместить хачапури на смазанный маслом противень и выпекать 30 мин. Переставить противень с хачапури на стол, вбить в середину каждого по 1 яйцу и вернуть в духовку. Как только белок посветлеет, достать пироги. Подавать горячими, положив сверху по кусочку сливочного масла.